Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，D为AA₁的中点．
（1）求证：A₁C⊥面ABC
（2）截面BDC₁将三棱柱分成两部分，其体积分别为V₁，V₂，求V₁：V₂．

Answer

（1）由已知中，我们易得BC⊥A1C，AC⊥A1C，再由线面垂直的判定定理即可得到A1C⊥面ABC
（2）根据已知中D为AA1的中点，及（1）的结论，我们分别求出三棱柱ABC-A1B1C1的体积，及截面BDC1将三棱柱分成两部分的体积V1，V2，即可得到V1：V2．
【解析】
（1）证明：BC⊥侧面AA1C1C，A1C⊂侧面AA1C1C，
∴BC⊥A1C，
又由
∴AC⊥A1C，又由BC∩AC=C
∴求证：A1C⊥面ABC
（2）由（1）的结论，可得三棱柱ABC-A1B1C1的体积
=SABC•A1C=
又∵===
故V1：V2=1：1