Question

已知函数f（x）=x³+2bx²+cx+1有两个极值点x₁、x₂，且x₁∈[-2，-1]，x₂∈[1，2]，则f（-1）的取值范围是（ ）
A．，3]
B．，6]
C．[3，12]
D．，12]

Answer

根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可；利用参数表示出f（-1）的值域，设z=x+3y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x+3y过可行域内的点A时，从而得到z=x+3y的最大值即可．
【解析】
f'（x）=3x2+4bx+c，（2分）
依题意知，方程f'（x）=0有两个根x1、x2，
且x1∈[-2，-1]，x2∈[1，2]
等价于f'（-2）≥0，f'（-1）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0．
由此得b，c满足的约束条件为 （4分）
满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分．（6分）
由题设知f（-1）=2b-c，
由z=2b-c，
将z的值转化为直线z=2b-c在y轴上的截距，
当直线z=2b-c经过点（0，-3）时，z最小，
最小值为：3．
当直线z=2b-c经过点C（0，-12）时，z最大，
最大值为：12．
故选C．