Question

已知数列{a_n}各项均为正数，其前n项和为S_n，点（a_n，S_n）在曲线（x+1）²=4y上．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足b₁=3，，，求数列c_n的前n项和为T_n．

Answer

（Ⅰ）将点代入到曲线方程中，得到an和Sn的关系式，再由an=Sn-Sn-1，能够得到an的通项公式．
（Ⅱ）由，an=2n-1，知bn+1=2bn-1，bn+1-1=2（bn-1），即，从而能得到===，进而得到Tn．
【解析】
（Ⅰ）因为（an+1）2=4Sn，所以，
所以
即4an+1=an+12-an2+2an+1-2an，所以2（an+1+an）=（an+1+an）（an+1-an）
因为an+1+an≠0，所以an+1-an=2，
即数列{an}为公差等于2的等差数列
则（a1+1）2=4a1，解得a1=1，所以an=2n-1
（Ⅱ）因为，an=2n-1，所以bn+1=2bn-1
∴bn+1-1=2（bn-1），即
所以数列{bn-1}是以2为公比的等比数列
又b1=3，所以b1-1=2
故bn-1=2•2n-1，即bn=2n+1
所以===，
=