Question

已知函数f（x）=x⁴-4x³+ax²-1在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减；
（1）求a的值；
（2）是否存在实数b，使得函数g（x）=bx²-1的图象与函数f（x）的图象恰有2个交点，若存在，求出实数b的值；若不存在，试说明理由．
（3）若对任意实数m∈[-6，-2]，不等式f（x）≤mx³+2x²-n，在x∈[-1，1]上恒成立，求实数n的取值范围．

Answer

（1）由f（x）在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减，可得f（1）为极大值，故f′（1）=0，
求出a的值．
（2）由f（x）=g（x）可得 x2（x2-4x+4-b）=0，方程x2-4x+4-b=0有两个非零等根或有一根为0，另一个不为0，
由△=16-4（4-b）=0，或4-b=0 求得b值．
（3）由题意得，F（x）=x4-（4+m）x3+2x2+n-1≤0恒成立，故F（x）在x∈[-1，1]上的最大值小于或等于0．
由F（x）在（0，1]上 的最大值F（1）≤0 恒成立得  n≤-4，由F（x）在[-1，0]上的最大值F（0）≤0 得
 n≤1，综合得n≤-4．
【解析】
（1）∵f（x）在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减，
∴f′（1）=0，f′（1）=4x3-12x2+2ax|x=1=2a-8=0，∴a=4；
（2）由（1）知f（x）=x4-4x3+4x2-1，由f（x）=g（x）可得x4-4x3+4x2-1=bx2-1
即x2（x2-4x+4-b）=0．∵f（x）的图象与g（x）的图象只有两个交点，
∴方程x2-4x+4-b=0有两个非零等根或有一根为0，另一个不为0，
∴△=16-4（4-b）=0，或4-b=0，∴b=0或b=4．
（3）由  x4-4x3+4x2-1≤mx3+2x2-n 恒成立，可得 x4-（4+m）x3+2x2+n-1≤0恒成立．
设F（x）=x4-（4+m）x3+2x2+n-1，则F（x）≤0恒成立，故F（x）的最大值小于或等于0．
F′（x）=4x3-3（4+m）x2+4x=x[4x2-3（4+m）x+4]，
∵-6≤m≤-2，∴-2≤4+m≤2，∴判别式△=9（4+m）2-64＜0，
4x2-3（4+m）x+4＞0恒成立，由F′（x）＞0，得 x＞0，∴F（x）在（0，1]上是增函数，
故F（x）的最大值F（1）≤0，∴n≤m+2，∴n≤-6+2=-4，即  n≤-4．
由F′（x）＜0，得 x＜0，故 F（x）在[-1，0]上是减函数，故F（x）的最大值F（0）≤0，
即n-1≤0，n≤1．
综上，要使 x4-（4+m）x3+2x2+n-1≤0恒成立，必须n≤-4．实数n的取值范围是（-∞，-4]．