Question

已知数列a_n的前n项和S_n满足条件2S_n=3（a_n-1），其中n∈N^*．
（1）求证：数列a_n成等比数列；
（2）设数列b_n满足b_n=log₃a_n．若 ，求数列t_n的前n项和．

Answer

（1）直接利用an=Sn-Sn-1 （n≥2）和题中条件求出an和an-1的关系即可证得数列{an}为等比数列；
（2）先由（1）的结论求出数列{bn}的通项公式，再代入求出数列{tn}的通项公式，最后用裂项相消法求数列{tn}的前n项和即可．
【解析】
（1）由题得（2分）
所以an=3an-1故有（4分）
又，解得a1=3，
所以数列an成等比数列（6分）
（2）由（1）得an=3n，则bn=log3an=log33n=n（8分）
故有
所以（10分）
=（14分）
=（16分）