Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2-a_n，数列{b_n}满足b₁=1，b₃+b₇=18，且b_n-1+b_n+1=2b_n（n≥2）．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ）由前n项和与第n项的关系，可得，求出此等比数列的通项公式；由bn-1+bn+1=2bn（n≥2）知，数列{bn}是等差数列，由，求得，从而写出等差数列 的通项公式．
（Ⅱ），用错位相加法进行数列求和，得到Tn 的结果．
【解析】
（Ⅰ）由题意Sn=2-an ①，当n≥2时，Sn-1=2-an-1 ②，①-②得  an=Sn-Sn-1 =an-1-an ，
即，又a1=S1=2-a1，∴a1=1，故数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列，所以．
由bn-1+bn+1=2bn（n≥2）知，数列{bn}是等差数列，设其公差为d，
则，所以，bn=b1+（n-1）d=2n-1；
综上，数列{an}和{bn}的通项公式为 ．
（Ⅱ），=  ③
∴2Tn=1×21+3×22++（2n-3）×2n-1+（2n-1）×2n，④
③-④得-Tn=1+2（21+22+23++2n-1）-（2n-1）•2n，
整理得，所以Tn=（2n-3）•2n+3．