Question

某旅游景点2010年利润为100万元，因市场竞争，若不开发新项目，预测从2011年起每年利润比上一年减少4万元．2011年初，该景点一次性投入90万元开发新项目，预测在未扣除开发所投入资金的情况下，第n年（n为正整数，2011年为第1年）的利润为100（1+）万元．
（1）设从2011年起的前n年，该景点不开发新项目的累计利润为A_n万元，开发新项目的累计利润为B_n万元（须扣除开发所投入资金），求A_n、B_n的表达式；
（2）依上述预测，该景点从第几年开始，开发新项目的累计利润超过不开发新项目的累计利润？

Answer

（1）根据题意得，An是首项为96，公差为-4的等差数列的前n项和；Bn是数列的前n项和与90的差；故可以求出An，Bn；
（2）由（1）知，求出Bn-An的表达式，可判断Bn-An是数集N*上的单调递增数列，且有：B4-A4＜0，B5-A5＞0，得出结论．
【解析】
（1）依题意，知An是首项为100-4=96，公差为-4的等差数列的前n项和，
所以，An=96n+=98n-2n2；
数列的前n项和为：100n+=100n+50，
∴Bn=100n+50-90=100n-40-；
（2）由（1）得，Bn-An=-（98n-2n2）=2n+2n2-40-，
Bn-An是数集N*上的单调递增数列，
观察并计算知：B4-A4=-＜0，B5-A5=＞0，
所以从第5年开始，开发新项目的累计利润超过不开发新项目的累计利润．