Question

已知数列{a_n}满足：a_n=log_（n+1）（n+2），n∈N⁺，我们把使a₁•a₂•a₃•…•a_k为整数的数k（k∈N⁺）叫做数列{a_n}的理想数．给出下列关于数列{a_n}的几个结论：
①数列{a_n}的最小理想数是2；
②数列{a_n}的理想数k的形式可以表示为k=4ⁿ-2；
③在区间[1，2011]内{a_n}的所有理想数之和为2026；
④对任意的n∈N⁺，有a_n+1＞a_n．
其中正确的序号为    ．

Answer

由 ，知a1•a2•…•ak=log2（n+2）．log2（n+2）为整数的最小的n=2，数列{an}的最小理想数是2．{an}的理想数k的形式可以表示为k=2n-1，先利用换底公式与叠乘法把a1•a2•a3…ak化为log2（k+2）；然后根据a1•a2•a3…ak为整数，可得k=2n-2；最后由等比数列前n项和公式解决问题．对任意n∈N*，有an+1＜an．故正确结论的序号为①③．
【解析】
，
∴a1•a2•…•ak=log2（n+2）．
∵k∈N*，∴log2（n+2）为整数的最小的n=2，数列{an}的最小理想数是2．故①正确；
{an}的理想数k的形式可以表示为k=2n-1，故②不成立；
∴k∈[1，2011]内所有的幸运数的和
M=（22-2）+（23-2）+（24-2）+…+（210-2）
=-2×9=2026  （211-2＞2011）
故答案为2026．
对任意n∈N*，有an+1＜an．故③成立；
=1，故④不成立．
故正确答案为①③．
故答案为：①③