Question

双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，O为坐标原点，点A在双曲线的右支上，点B在双曲线左准线上，
（Ⅰ）求双曲线的离心率e；
（Ⅱ）若此双曲线过，求双曲线的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，D₁、D₂分别是双曲线的虚轴端点（D₂在y轴正半轴上），过D₁的直线l交双曲线于点M、N，，求直线l的方程．

Answer

（Ⅰ）四边形F2ABO是平行四边形，由=0，知平行四边形F2ABO是菱形．由此能求出双曲线的离心率e．
（Ⅱ）由b2=c2-a2=3a2，双曲线方程为，把点代入得a2=3，由此能求出双曲线方程．
（Ⅲ）D1（0，-3），D2（0，3），设l的方程为y=kx-3，M（x1，y1），N（x2，y2），由，因l与与双曲线有两个交点，再由根的判别式和韦达定理进行求解．
【解析】
（Ⅰ）四边形F2ABO是平行四边形，
∴=0，即=0，
∴，
∴平行四边形F2ABO是菱形．
如图，则r2=d1=c，r1=2a+r2=2a+c，
由双曲线定义得r1=d1e⇒2a+c=ce⇒e2-e-2=0，
∴e=2（e=-1舍去）（3分）
（Ⅱ）由b2=c2-a2=3a2，
双曲线方程为，
把点代入有得a2=3，
∴双曲线方程．（6分）
（Ⅲ）D1（0，-3），D2（0，3），
设l的方程为y=kx-3，M（x1，y1），N（x2，y2）
则由，
因l与与双曲线有两个交点，∴3-k2≠0．
∵，，
△=36k2+4×18（3-k2）＞0（8分）
∴，
y1•y2=k2x1x2-3k（x1+x2）+9=9，
，⇒x1•x2+y1•y2-3（y1+y1）+9=0
∴k2=5，
满足△＞0，
∴（11分）
故所求直线l方程为（13分）