Question

已知定义在上的两个函数的图象在点处的切线的斜率为．
（1）求f（x）的解析式；
（2）试求实数k的最大值，使得对任意恒成立；
（3）若，求证：．

Answer

（1）求f′（x），进一步求出f′（），令其等于-，得a值，代入得f（x）的解析式；
（2）把解析式代入不等式，观察f（x）、g（x）均为正数，分离参数，设另一边为函数h（x），求其导函数，令h′（x）＞0，令h′（x）＜0，得函数h（x）的单调性，进一步求出其最大值，代入不等式可求k的范围，即得k的最大值．
（3）由（2）的结论可得≥（-），在上式中分别令x=x1，x2，x3，三式左右两边分别相加得一不等式，通分，结合所给等式，可得所求结果．
【解析】
（1）由
即可求得；（3分）
（2）当，＞＞＞0，
不等式f（x）≥≥≥（5分）
令
由于=（7分）
当；
当；
当x∈（2，3）时，h'（x）＜0．
又，
故h（x）max=h（2）=25，
于是由；（10分）
（3）由（2）知，
在上式中分别令x=x1，x2，x3再三式作和即得==，
所以有．（14分）