Question

设抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），y₁＞0，y₂＜0，M是抛物线的准线上的一点，O是坐标原点．若直线MA，MF，MB的斜率分别记为：K_MA=a，K_MF=b，K_MB=c，（如图）
（I）若y₁y₂=-4，求抛物线的方程；
（II）当b=2时，求a+c的值；
（III）如果取时，判定|∠AMF-∠BMF|和∠MFO的值大小关系．并说明理由．

Answer

（I）设直线AB的方程为，由得，由此能求出抛物线的方程．
（II）则，所以y=-2p，由此能够推导出．
（III）设直线AM、FM、BM的倾斜角分别为θ1，θ2，θ3，则∠AMF=θ1-θ2，∠BMF=θ3+θ2，∠MFO=θ2，，由此能够导出|∠AMF-∠BMF|＞∠MFO．
【解析】
（I）设直线AB的方程为
由消去x得
所以y1y2=-p2=-4
因为p＞0，所以p=2
所以此抛物线的方程为y2=4x
（II）则，所以y=-2p
所以=
由（*）得y1y2=-p2，
所以
（III）设直线AM、FM、BM的倾斜角分别为θ1，θ2，θ3，
则∠AMF=θ1-θ2，∠BMF=θ3+θ2，∠MFO=θ2所以θ1+θ3=
所以|∠AMF-∠BMF|＞∠MFO