Question

已知抛物线y²=2px，（p＞0）的焦点为F，且焦点F到其准线的距离为，A，B，C为抛物线上相异三点．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）若，求证：为定值；
（Ⅲ）若A，F，C三点共线，直线BF交抛物线于另一点D，且AC⊥BD，求四边形ABCD面积的最小值．

Answer

（Ⅰ）根据抛物线y2=2px和焦点，准线方程：，焦点F到准线的距离为，即可求得p值；
（Ⅱ）设点A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），由（1）知，∵，求得x1+x2+x3的值，进而利用抛物线的定义推断出=（x1+1）+（x2+1）+（x3+1）把x1+x2+x3的值代入即可求得答案．
（Ⅲ）由（1）知，抛物线方程为：y2=3x，显然AC，BD都不垂直于坐标轴，设直线AC的方程为：，可得到AC的方程然后与抛物线联立得到两根之和、两根之积，根据弦长公式表示出|AC|并化简，然后根据直线AC的斜率可得到直线BD的斜率求出|BD|的弦长，再表示出S四边形ABCD运用基本不等式可确定答案．
【解析】
（Ⅰ）焦点，准线方程：，
∵焦点F到准线的距离为，即，
∴．
（Ⅱ）设点A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），由（1）知，
∵，即，
∴，即，
由抛物线的定义：===．
（Ⅲ）由（1）知，抛物线方程为：y2=3x，
显然AC，BD都不垂直于坐标轴，
设直线AC的方程为：，
联立得：，
由韦达定理得，，
∴，
将上式中m用代换，得，
于是，=，
当且仅当m=±1时，上式取等号，故四边形ABCD面积的最小值为18．