Question

已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，离心率e=．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过点（1，0）作直线l交E于P、Q两点，试问在x轴上是否存在一定点M，使为定值？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ），由此能导出所求椭圆E的方程．
（Ⅱ）当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：x=ky+，由1，整理得：（k2+2）y2+2ky-1=0，，假设存在定点M（m，0），使得为定值．由此入手能够推导出存在定点，使得对于经过（1，0）点的任意一条直线l均有（恒为定值）．
【解析】
（Ⅰ），
∴所求椭圆E的方程为：（5分）
（Ⅱ）当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：x=ky+1，
把（2）代入（1）整理得：（k2+2）y2+2ky-1=0（3）
∴，（8分）
假设存在定点M（m，0），使得为定值
=（ky1+1-m）（ky2+1-m）+y1y2=（k2+1）y1y2+k（1-m）（y1+y2）+（1-m）2==
当且仅当5-4m=0，即时，（为定值）．这时（12分）
再验证当直线l的倾斜角α=0时的情形，此时取，，
∴存在定点使得对于经过（1，0）点的任意一条直线l均有（恒为定值）．