Question

已知抛物线y²=2x，设A，B是抛物线上不重合的两点，且，，O为坐标原点．
（1）若，求点M的坐标；
（2）求动点M的轨迹方程．

Answer

（1）若，由抛物线的对称性知，AB垂直于横轴，可设直线AB的方程是x=b，用b表示出两点A，B的坐标，再由建立方程求出b即可，利用向量的坐标运算，求出向量OM的坐标既得点M的坐标．
（2）设出直线AB的方程y=kx+b，与抛物线的方程联立，利用，找出两参数的关系，用参数表示出两点A，B的横坐标的和与纵坐标的和，即得出点M的坐标的参数方程，消去参数即得点M的轨迹方程．
【解析】
（1）若，由抛物线的对称性知，AB垂直于横轴，可设直线AB的方程是x=b，可解得A，B两点的坐标分别为（b，），（b，-），则=（b，）=（b，-），有得b2-2b=0，得b=0（舍），b=2，故，B两点的坐标分别为（2，2），（2，-2）
又=（4，0），故点M的坐标为（4，0），
（2）当斜率不存在时，由（1）知点M的坐标为（4，0），
当斜率存在时，可设过两点A，B的直线方程为x=ny+m代入抛物线y2=2x得y2=2ny+2m，即y2-2ny-2m=0，令A（x1，y1），B（x2，y2）
则有y1y2=-2m，y1+y2=2n，
故有x1x2=（ny1+m）（ny2+m）=n2y1y2+nm（y1+y2）+m2=-2mn2+2mn2+m2=m2，
    x1+x2=n（y1+y2）+2m=2n2+2m
∵，∴x1x2+y1y2=0，∴-2m+m2=0，得m=2或m=0（舍）
∵=（x1+x2，y1+y2）=（2n2+2m，2n）=（2n2+4，2n），令M（x，y），则有，消去参数得x=，即y2=2x-8
验证知点M的坐标为（4，0）符合y2=2x-8
故动点M的轨迹方程是y2=2x-8