Question

已知椭圆的一条准线方程是，其左、右顶点分别是A、B；双曲线的一条渐近线方程为3x-5y=0．
（1）求椭圆C₁的方程及双曲线C₂的离心率；
（2）在第一象限内取双曲线C₂上一点P，连接AP交椭圆C₁于点M，连接PB并延长交椭圆C₁于点N，若．求的值．

Answer

（1）由已知，由此能够求出椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率．
（2）由A（-5，0），B（5，0），设M，得M为AP的中点，P点坐标为（2x+5，2y），将M、P坐标代入C1、C2方程得，解之得P（10，，直线PB：，由此能够求出．
【解析】
（1）由已知
∴椭圆的方程为，双曲线的方程．
又，
∴双曲线的离心率（5分）
（2）由（Ⅰ）A（-5，0），B（5，0），设M
得M为AP的中点，∴P点坐标为（2x+5，2y）
将M、P坐标代入C1、C2方程得，
消去y得2x2+5x-25=0，
解之得，
由此可得P（10，，直线PB：，
即
代入，
∴∴，∴xN=xM，
故MN⊥x轴，所以（12分）