Question

由函数y=f（x）确定数列{a_n}，a_n=f（n），若函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）能确定数列{b_n}，b_n=f^-1（n），则称数列{b_n}是数列{a_n}的“反数列”．
（1）若函数确定数列{a_n}的反数列为{b_n}，求{b_n}的通项公式；
（2）对（1）中{b_n}，不等式对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设，若数列{c_n}的反数列为{d_n}，{c_n}与{d_n}的公共项组成的数列为{t_n}，求数列{t_n}前n项和S_n．

Answer

（1），，由此能求出数列{an}的反数列为{bn}的通项公式．（2）把不等式化为，，，数列{Tn}单调递增，所以（Tn）min=T1=1，要使不等式恒成立，只要，由此能求出使不等式对于任意正整数n恒成立的a的取值范围．
（3）设公共项tk=cp=dn，k、p、q为正整数，当λ为奇数时，tn=2n-1，{tn}的前n项和Sn=n2．当λ为偶数时，tn=3n，{tn}的前n项和．
【解析】
（1）（n为正整数），
所以数列{an}的反数列为{bn}的通项（n为正整数）（2分）
（2）对于（1）中{bn}，不等式化为..（3分）
，，
∴数列{Tn}单调递增，（5分）
所以（Tn）min=T1=1，要是不等式恒成立，只要．（6分）
∵1-2a＞0，∴，又
所以，使不等式对于任意正整数n恒成立的a的取值范围是..（8分）
（3）设公共项tk=cp=dn，k、p、q为正整数，
当λ为奇数时，（9分）
，则{cn}⊂{bn}（表示{cn}是{bn}的子数列），tn=2n-1
所以{tn}的前n项和Sn=n2..（11分）
当λ为偶数时，cn=3n，dn=log3n（12分）
3q=log3q，则，同样有{cn}⊂{bn}，tn=3n
所以{tn}的前n项和（14分）