Question

已知函数f（x）=x²+m，其中m∈R，定义数列{a_n}如下：a₁=0，a_n+1=f（a_n），n∈N*．
（1）当m=1时，求a₂，a₃，a₄的值；
（2）是否存在实数m，使a₂，a₃，a₄构成公差不为0的等差数列？若存在，求出实数m的值，并求出等差数列的公差；若不存在，请说明理由．
（3）若正数数列{b_n}满足：b₁=1，（n∈N*），S_n为数列{b_n}的前n项和，求使S_n＞2010成立的最小正整数n的值．

Answer

（1）令m=1，代入确定出f（x）的解析式，由a1=0，an+1=f（an），令n=2即可求出a2的值，然后由a2的值，an+1=f（an），令n=3即可求出a3的值，同理得到a4的值；
（2）由（1）的方法分别表示出a2，a3及a4，根据等差数列的性质列出关于m的方程，根据m=0得到三项都为0，不合题意，故当m不等于0，所以当m不为0时，方程两边除以m，得到关于m的一元二次方程，求出方程的解即可得到m的值，确定出三项的值，用后一项减去前一项即可求出对应的公差d的值；
（3）由b1=1，（n∈N*），根据f（x）的解析式，求出bn+1与bn的关系式，从而确定出正数数列{bn}是以1为首相，2为公比的等比数列，根据等比数列的前n项和公式表示出Sn，代入不等式中即可求出正整数n的最小值．
【解析】
（1）m=1时，f（x）=x2+1，因为a1=0，
所以a2=f（a1）=f（0）=1，a3=f（a2）=2，a4=f（a3）=5；（（3分），每求对一项得1分）
（2）f（x）=x2+m，则a2=m，a3=m2+m，a4=（m2+m）2+m=m4+2m3+m2+m，（5分）
如果a2，a3，a4成等差数列，
则m2+m-m=（m4+2m3+m2+m）-（m2+m），m4+2m3-m2=0，（6分）
若m=0，则a2=a3=a4=0，不合题意，
故m≠0．所以，m2+2m-1=0，所以．（8分）
当时，公差d=a3-a2=m2+m-m=m2=，（9分）
当时，公差；（10分）
（3）b1=1，bn+1=2（bn+m）-2m=2bn，（12分）
所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，
则Sn=2n-1＞2010，即2n＞2011，解得n＞10．（15分）
所以，使Sn＞2010成立的最小正整数n的值为11．（16分）