Question

设函数（a∈R），函数g（x）的图象与函数f（x）的图象关于点A（1，2）对称．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）若关于x的方程g（x）=a有且仅有一个实数解，求a的值，并求出方程的解；
（3）若函数f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，求a的取值范围．

Answer

（1）欲求函数g（x）的解析式，先设P（x，y）为图象C2上任意一点，P关于点A对称的点为P'（x'，y'），根据对称性求出P与P′坐标的关系，利用P'（x'，y'）在C1上，即可求得函数g（x）的解析式；
（2）由g（x）=a得，整理得x2-ax+（3a-4）=0接下来讨论此方程解的情况：若x=2是方程①的解，则a=0，此时方程①有两个实数解x=2和x=-2，原方程有且仅有一个实数解x=-2；若x=2不是方程①的解，则由△=a2-12a+16=0，解得即可；
（3）利用函数单调性的定义求解，先设x1、x2∈[2，+∞），且x1＜x2，因为函数f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，所以f（x2）-f（x1）＞0据此即可求得a的取值范围．
【解析】
（1）设P（x，y）为图象C2上任意一点，P关于点A对称的点为P'（x'，y'），
则，，于是x'=2-x，y'=4-y，（2分）
因为P'（x'，y'）在C1上，所以，即，．
所以．（5分）
（2）由g（x）=a得，整理得x2-ax+（3a-4）=0①（7分）
若x=2是方程①的解，则a=0，此时方程①有两个实数解x=2和x=-2，原方程有且仅有一个实数解x=-2；（8分）
若x=2不是方程①的解，则由△=a2-12a+16=0，解得．（9分）
所以，当a=0时，方程的解为x=-2；（10分）
当a=时，方程的解为；（11分）
当a=时，方程的解为．（12分）
（3）设x1、x2∈[2，+∞），且x1＜x2，
因为函数f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，所以f（x2）-f（x1）＞0．（14分），
因为x2-x1＞0，x1x2＞0，所以x1x2-a＞0，即a＜x1x2，（16分）
而x1x2＞4，所以a≤4．（17分）
因此a的取值范围是（-∞，4]．（18分）