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已知各项均为整数的数列{an}满足:a9=-1,a13=4,且前12项依次成等差...

已知各项均为整数的数列{an}满足:a9=-1,a13=4,且前12项依次成等差数列,从第11项起依次成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若存在正整数m、p使得:am+am+1+…+am+p=amam+1…am+p,请找出所有的有序数对(m,p),并证明你的结论.
(1)各项均为整数的数列{an}满足:a9=-1,a13=4,且前12项依次成等差数列,从第11项起依次成等比数列,列方程,分别求出等差数列的公差和等比数列的公比,即可求出数列{an}的通项公式;(2)根据(1)得出数列{an}为:-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,4,8,16,…,分类讨论当am,am+1,…,am+p均为负数和当am,am+1,…,am+p均为正数, 可得am+am+1+…+am+p=0,根据负数项只有九项,我们按负数项分类:即可求得结果. 【解析】 (1)设由前12项构成的等差数列的公差为d,从第11项起构成的等比数列的公比为q, 由,可得,或. 又数列{an}各项均为整数,故;  所以,. (2)数列{an}为:-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,4,8,16,… 当am,am+1,…,am+p均为负数时, 显然am+am+1+…+am+p<0,所以amam+1…am+p<0,即am,am+1,…,am+p共有奇数项,即p为偶数; 又最多有9个负数项,所以p≤8,p=2时,经验算只有(-3)+(-2)+(-1)=(-3)•(-2)•(-1)符合, 此时m=7;p=4,6,8时,经验算没有一个符合; 故当am,am+1,…,am+p均为负数时,存在有序数对(7,2)符合要求. 当am,am+1,…,am+p均为正数时,m≥11且m∈N*, am+am+1+…+am+p=2m-11+2m-10+…+2m+p-11=2m-11(1+2+…+2p)=2m-11(2p+1-1) 因为2p+1-1是比1大的奇数,所以am+am+1+…+am+p能被某个大于1的奇数(2p+1-1)整除, 而不存在大于1的奇约数,故am+am+1+…+am+p≠amam+1…am+p; 故当am,am+1,…,am+p均为正数时,不存在符合要求有序数对;    当am,am+1,…,am+p中既有正数又有负数,即am,am+1,…,am+p中含有0时, 有amam+1…am+p=0,所以am+am+1+…+am+p=0, 因为负数项只有九项,我们按负数项分类: 含1个负数项时,-1,0,1,符合,此时m=9,p=2; 含2个负数项时,-2,-1,0,1,2,符合,此时m=8,p=4; 含3个或4个负数项时,经验算不存在符合要求的; 含5个负数项时,-5,-4,-3-2,-1,0,1,2,4,8,符合,此时m=5,p=9; 含6个及6个以上负数项时,经验算不存在符合要求的; 故当am,am+1,…,am+p中既有正数又有负数时,存在三组有序数对(9,2),(8,4),(5,9)符合要求; 综上,存在四组有序数对(9,2),(8,4),(5,9),(7,2)符合要求.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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