Question

在△ABC中，AB=2AC，AD是A的角平分线．且AD=kAC
（1）求k的取值范围；
（2）若S_△ABC=1，问k为何值时，BC最短？

Answer

（1）由三角形内角平分线的性质可得，BD=BC，CD=BC；在△ABD和△ACD中，分别利用余弦定理可得cos=；
由于 0＜＜，故 0＜cos＜1，由此解得k的取值范围．
（2）若S△ABC=1 得到 sinA=≤1，故 b2≥1，由余弦定理可得 a2=5b2±4，令 t=b2≥1，f（t）=5t+4，g（t）=5t-4，求得f（t）的最小值为5，求得g（t）的最小值为3，故a2的最小值等于3，此时，
b2=．△ACD中，再由余弦定理以及cos=，求得k的值．
【解析】
（1）设AC=1，则 AB=2，由三角形内角平分线的性质可得，BD=BC，CD=BC．
由余弦定理可得 =4+k2-4kcos，=1+k2-2kcos，
∴cos=．由于 0＜＜，∴0＜cos＜1，即 0＜＜1，
∴0＜k＜，故求k的取值范围是（0， ）．
（2）若S△ABC=1=b•2b•sinA，∴sinA=≤1，∴b2≥1．
∴cosA=±，由余弦定理可得 a2=5b2-4b2cosA=5b2±4b2=5b2±4，
令t=b2≥1，令f（t）=5b2+4=5t+4，令 g（t）=5b2-4=5t-4．
显然，f（t）是增函数，f（t）≥f（1）=5．
∵g′（t）=5-，由g′（t）=0 可得，t=，g（）=3，
∴g（t）≥g（）=3，故a2的最小值等于3，故a的最小值等于 ．
此时，t=b2=，AC=b=，CD=，AD=k•AC=k•．
△ACD中，再由余弦定理可得 CD2 =AC2+AD2-2AC•AD•cos，又cos=，
上式即 =+k2 -2••k•，解得k=．
综上，当k= 时，a 的最小值等于 ，即BC的最小值等于 ．