Question

已知函数f（x）=x²+ln x-1．
（1）求函数f（x）在区间[1，e]（e为自然对数的底）上的最大值和最小值；
（2）求证：在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=x³的图象的下方；
（3）求证：[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）≥2ⁿ-2 （n∈N^*）．

Answer

（1）求出f′（x），在区间[1，e]上大于零得出函数为增函数，算出1和e的函数值即可得到函数的最值；
（2）设F（x）=f（x）-g（x）=x2+lnx-1-x3，求出其导函数讨论当x＞1时函数的增减性从而得到f（x）＜g（x）得证；
（3）当n=1时显然成立，当n≥2时，利用基本不等式得证即可．
【解析】
（1）∵f′（x）=x+，
当x∈[1，e]时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在[1，e]上为增函数、
∴f（x）max=f（e）=e2，f（x）min=f（1）=-、
（2）证明：令F（x）=f（x）-g（x）=x2+lnx-1-x3，
则F′（x）=x+-2x2==
∵当x＞1，时F′（x）＜0，
∴函数F（x）在区间（1，+∞）上为减函数，
∴F（x）＜F（1）=-1-＜0，
即在（1，+∞）上，f（x）＜g（x）、
∴在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=x3的图象的下方、
（3）证明：∵f′（x）=x+，当n=1时，不等式显然成立
当n≥2时，利用基本不等式得：
[f′（x）]n-f′（xn）=（x+）n-（）≥2n-2（当且仅当x=1时“=”成立）
∴当n≥2时，不等式成立、
综上所述得[f′（x）]n-f′（xn）≥2n-2，（n∈N*）