Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，过顶点A任作一条直线l，与异面直线A₁C₁，B₁C所成的角都为60°，则这样的直线l可作（ ）
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条

Answer

根据题意，因为A1D∥B1C，所以直线A1C1和B1C所成的角即为直线A1C1和A1D所成的角，所以过A1在空间作直线l，使l与直线A1C1和B1C所成的角都等于60°，可转化为过点A在空间作直线l，使l与直线A1C1和A1D所成的角都等于 60°．可分在平面ACD1内和在平面ACD1外两种情况寻找．因为要与直线A1C1和A1D所成的角都相等，故在平面ACD1内可考虑角平分线；在平面ACD1外可将角平分线绕点A旋转考虑．
【解析】
因为A1D∥B1C，所以直线A1C1和B1C所成的角即为直线A1C1和A1D所成的角，所以过A1在空间作直线l，使l与直线A1C1和B1C所成的角都等于60°，可转化为过点A在空间作直线l，使l与直线A1C1和A1D所成的角都等于 60°．
因为∠ACD1=60°，∠ACD1的外角平分线与A1C1和A1D所成的角相等，均为60°，所以在平面ACD1内有一条满足要求．
因为∠ACD1的角平分线与A1C1和A1D所成的角相等，均为30°，将角平分线绕点A向上转动到与面ACD1垂直的过程中，存在两条直线与直线A1C1和B1C所成的角都等于60°，故符合条件的直线有3条．
故选C．