Question

在平面直角坐标系中，已知，若实数λ使得（O为坐标原点）
（1）求P点的轨迹方程，并讨论P点的轨迹类型；
（2）当时，若过点B（0，2）的直线l与（1）中P点的轨迹交于不同的两点E，F（E在B，F之间），试求△OBE与OBF面积之比的取值范围．

Answer

（1）根据已知点的坐标，分别表示出代入中即可求得x和y的关系式，根据λ的值的不同判断出方程表示的不同轨迹．
（2）把λ代入（1）中求得轨迹方程，可知其轨迹为椭圆，进而分别表示出△OBE和△OBF的面积，设出EF的直线方程与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1•x2代入中根据k的范围确定，进而求得两三角形面积之比．
【解析】
（1）
∵∴（x2-2）λ2=x2-2+y2化简得：（1-λ2）x2+y2=2（1-λ2）
①λ=±1时方程为y=0轨迹为一条直线
②λ=0时方程为x2+y2=2轨迹为圆
③λ∈（-1，0）∪（0，1）时方程为轨迹为椭圆
④．λ∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时方程为轨迹为双曲线
（2）∵点轨迹方程为，
∴
∴S△OBE：S△OBF=|x1|：|x2|
设直线EF直线方程为y=kx+2，联立方程可得：（1+2k2）x2+8kx+6=0．
∴，
∴
∴
由题意可知：S△OBE＜S△OBF，所以．