Question

（文）已知点P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n）（n为正整数）都在函数y=a^x（a＞0，a≠1）的图象上，其中{a_n}是以1为首项，2为公差的等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式，并证明数列{b_n}是等比数列；
（2）设数列{b_n}的前n项的和S_n，求；
（3）设Q_n（a_n，0），当时，问△OP_nQ_n的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）直接利用定义即可求数列{an}的通项公式，再代入求出数列{bn}的通项公式，用定义即可证明数列{bn}是等比数列；
（2）先直接代入公式求出Sn以及的表达式，再分a的不同取值来求结论即可；
（3）先找到△OPnQn的面积的表达式，设出对应数列，再利用求数列最大项的方法求出△OPnQn的面积的最大值即可．
【解析】
（1）an=2n-1，（n∈N*），，
∴，
∴数列{bn}是等比数列．
（2）因为{bn}是等比数列，且公比a2≠1，
∴，．
当0＜a＜1时，；
当a＞1时，．
因此，．
（3），，
设，
当cn最大时，则，
解得，n∈N*，∴n=2．
所以n=2时cn取得最大值，
因此△OPnQn的面积存在最大值．