Question

证明：xⁿ-na^n-1x+（n-1）aⁿ能被（x-a）²整除（a≠0）．

Answer

要证明xn-nan-1x+（n-1）an能被（x-a）2整除（a≠0）．我们可使用数学归纳法：先证明n=1时，结论xn-nan-1x+（n-1）an能被（x-a）2整除成立，再假设n=k时，xn-nan-1x+（n-1）an能被（x-a）2整除（a≠0）．进而证明：n=k+1时，结论xn-nan-1x+（n-1）an能被（x-a）2整除（a≠0）也成立，即可得到结论．
证明：当n=1时，
xn-nan-1x+（n-1）an=x-x=0
易得此时xn-nan-1x+（n-1）an能被（x-a）2整除成立；
设n=k时，xn-nan-1x+（n-1）an能被（x-a）2整除成立，
即xk-kak-1x+（k-1）ak能被（x-a）2整除成立，
则n=k+1时，
xn-nan-1x+（n-1）an=xk+1-（k+1）akx+kak+1
=xk-kak-1x+（k-1）ak+kak─1（x─a）2
即xn-nan-1x+（n-1）an=xk+1-（k+1）akx+kak+1也能被（x-a）2整除
综合，xn-nan-1x+（n-1）an能被（x-a）2整除（a≠0）．