Question

在1与2之间插入n个正数a₁，a₂，a₃，…，a_n，使这n+2个数成等比数列；又在1与2之间插入n个正数b₁，b₂，b₃，…，b_n，使这n+2个数成等差数列．记A_n=a₁a₂a₃…a_n，B_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n．
（1）求数列{A_n}和{B_n}的通项；
（2）当n≥7时，比较A_n和B_n的大小，并证明你的结论．

Answer

（1）由1，a1，a2，a3，…，an，n成等比数列，结合等比数列的性质可得，a1an=a2an-1=…=akan-k=1×2，从而可求An；1，b1，b2，b3，…，bn，2这n+2个数成等差数列．利用等差数列的性质可得b1+bn=b2+bn-1=…=bk+bn-k=1+2从而可求Bn=b1+b2+b3+…+bn．
（2）由（1）可求An，Bn＞0，转化比较An2，Bn2的大小，先取n=7，8，9代入计算，观察An2与Bn2的大小，做出猜想，利用数学归纳法进行证明．
【解析】
（1）∵1，a1，a2，a3，an，2成等比数列，
∴a1an=a2an-1=a3an-2═akan-k+1═1×2=2，
∴An2=（a1an）（a2an-1）（a3an-2）（an-1a2）（ana1）=（1×2）n=2n，
∴．（4分）
∵1，b1，b2，b3，bn，2成等差数列，
∴b1+bn=1+2=3，
∴．
所以，数列{An}的通项，数列{Bn}的通项．（6分）
（2）∵，，
∴An2=2n，，
要比较An和Bn的大小，只需比较An2与Bn2的大小，也即比较当n≥7时，2n与的大小．
当n=7时，2n=128，，得知，
经验证n=8，n=9时，均有命题成立．
猜想当n≥7时有．用数学归纳法证明．（9分）
①当n=7时，已验证，命题成立．
②假设n=k（k≥7）时，命题成立，即，
那么，
又当k≥7时，有k2＞2k+1，
∴=．
这就是说，当n=k+1时，命题成立．
根据（ⅰ）、（ⅱ），可知命题对于n≥7都成立．
故当n≥7时，An＞Bn．（12分）