Question

若数列{a_n}满足对任意的n有：S_n=，试问该数列是怎样的数列？并证明你的结论．

Answer

先根据Sn=可得到an+1=Sn+1-Sn、an=Sn-Sn-1（n≥2），然后二式相减并代入关系式Sn=可得到2（an+1-an）=（n+1）an+1+（n-1）an-1-2nan（n≥2）整理可得到2an=an+1+an-1（n≥2），最后根据等差数列的性质可得证．
【解析】
an+1=Sn+1-Sn①
an=Sn-Sn-1（n≥2）②
①-②得
an+1-an=Sn+1+Sn-1-2Sn
=+-n（a1+an）
=[（n+1）an+1+（n-1）an-1-2nan]
可得2（an+1-an）=（n+1）an+1+（n-1）an-1-2nan（n≥2）
整理可得2（n-1）an=（n-1）an+1+（n-1）an-1（n≥2）
即2an=an+1+an-1（n≥2）
根据等差数列的特性可知：此数列为等差数列