Question

已知数列{b_n}是等差数列，b₁=1，b₁+b₂+…+b₁₀=145．
（1）求数列{b_n}的通项b_n；
（2）设数列{a_n}的通项a_n=log_a（1+）（其中a＞0，且a≠1），记S_n是数列{a_n}的前n项和．试比较S_n与log_ab_n+1的大小，并证明你的结论．

Answer

（1）根据数列{bn}是等差数列，建立b1与d的方程组，解之即可；
（2）因此要比较Sn与logabn+1的大小，可先比较（1+1）（1+）（1+）与的大小，利用用数学归纳法证明此式，当a＞1时，Sn＞logabn+1，当0＜a＜1时，Sn＜logabn+1．
【解析】
（1）设数列{bn}的公差为d，由题意得
解得
所以bn=3n-2．
（2）由bn=3n-2，知
Sn=loga（1+1）+loga（1+）++loga（1+）
=loga[（1+1）（1+）（1+）]，logabn+1=loga．
因此要比较Sn与logabn+1的大小，可先比较（1+1）（1+）（1+）与的大小．
取n=1有（1+1）＞，
取n=2有（1+1）（1+）＞，
由此推测（1+1）（1+）（1+）＞．①
若①式成立，则由对数函数性质可断定：
当a＞1时，Sn＞logabn+1．
当0＜a＜1时，Sn＜logabn+1．
下面用数学归纳法证明①式．
（ⅰ）当n=1时已验证①式成立．
（ⅱ）假设当n=k（k≥1）时，①式成立，即
（1+1）（1+）（1+）＞．
那么，当n=k+1时，
（1+1）（1+）（1+）（1+）＞（1+）
=（3k+2）．
因为==，
所以（3k+2）＞．
因而（1+1）（1+）（1+）（1+）＞．
这就是说①式当n=k+1时也成立．
由（ⅰ），（ⅱ）知①式对任何正整数n都成立．
由此证得：
当a＞1时，Sn＞logabn+1．
当0＜a＜1时，Sn＜logabn+1．