Question

数列{a_n}中，，试证：．

Answer

由题设知an＞0，当n=1时，；当n=2时，．假设当n=k（k∈N）时，，那么当n=k+1时，，．再用作商法比较和的大小．从而证明出，．
证明：∵a1=2，，∴an＞0，
∵0.5an2-an+1an+1=0，由△=an+12-2≥0，得（舍去）或．
当n=1时，；
当n=2时，．
假设当n=k（k∈N）时，，
那么当n=k+1时，，
∵，当且仅当时等号成立，，
∴．
面用作商法比较和的大小．
∵=，
∴，
∴，
即当n=k+1时，成立．
∴对于任意n∈N，均成立．