Question

试证：不论正数a，b，c是等差数列还是等比数列，当n＞1，n∈N且a，b，c互不相等时，都有aⁿ+cⁿ＞2bⁿ．（n∈N）．

Answer

首先题目要求证明不等式对等比数列或等差数列均成立，考虑到用数学归纳法证明，本题中使用到结论有 （ak-ck）（a-c）＞0恒成立（a、b、c为正数），从而ak+1+ck+1＞ak•c+ck•a．即可得到答案．
证明 （1）设a、b、c为等比数列，a=，c=bq（q＞0且q≠1）
∴an+cn=+bnqn=bn（+qn）＞2bn

（2）设a、b、c为等差数列，
则2b=a+c猜想＞（n≥2且n∈N*）
下面用数学归纳法证明
①当n=2时，由2（a2+c2）＞（a+c）2，∴
②设n=k时成立，即．
则当n=k+1时，（ak+1+ck+1+ak+1+ck+1）＞（ak+1+ck+1+ak•c+ck•a）=（ak+ck）（a+c）
＞（）k•（）=（）k+1
也就是说，等式对n=k+1也成立
由①②知，an+cn＞2bn对一切自然数n均成立