Question

已知数列{a_n}满足条件（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1），a₂=6，令b_n=a_n+n（n∈N^*）
（Ⅰ）写出数列{b_n}的前四项；
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项公式，并给出证明；
（Ⅲ）是否存在非零常数p，q，使得数列成等差数列？若存在，求出p，q满足的关系式；若不存在，说明理由．

Answer

（1）先根据（n-1）an+1=（n+1）（an-1），可分别求得a1，a3，a4，进而求得b1，b2，b3，b4．
（2）由（1）知b1=2×12，b2=2×22，b3=2×32，b4=2×42由此猜测bn=2n2．进而用数学归纳法证明．
（3）假设存在非零常数p，q，使得数列{}成等差数列，设其公差为d，令cn==，进而根据等差数列通项公式求得cn，建立等式化简整理后即可求得=-2，进而判断存在满足关系p=-2q的非零常数p，q，使得数列成等差数列．
【解析】
（Ⅰ）在∵（n-1）an+1=（n+1）（an-1），中，
由∴a1=1，a3=15．a4=28；
∴b1=2，b2=8，b3=18，b4=32
（Ⅱ）由（1）知b1=2×12，b2=2×22，b3=2×32，b4=2×42
．由此猜测bn=2n2．
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时猜想显然成立；
②假设n=k（k≥2）猜想成立，即bk=2k2，则有ak=2k2-k，
根据题意，得（k-1）ak+1=（k+1）（ak-1）=（k+1）（2k2-k-1），解出ak+1=（k+1）（2k+1），
于是bk+1=ak+1+k+1=（k+1）（2k+1）+（k+1）=2（k+1）2，
，即当n=k+1时猜想也成立．
综合①②得对于所有n∈N*都有bn=2n2
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，an=2n2-n，
假设存在非零常数p，q，使得数列{}成等差数列，设其公差为d，
令cn==，则有cn=c1+（n-1）d=dn+c1-d，
从而=dn+c1-d，
化简得：2n2-n=dpn2+[dq+p（c1-d）]n+q（c1-d）．
所以有，
∵q≠0
∴c1=d∴dq=-1
∴=-2
故存在满足关系p=-2q的非零常数p，q，使得数列成等差数列