Question

设椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，上顶点为A，△AF₁F₂为正三角形，且以AF₂为直径的圆与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，过右焦点F₂作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PM、PN为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）由△AF1F2是正三角形，知a=2c，由F2（c，0），A（0，b），知以AF2为直径的圆的圆心为，半径r=，由该圆与直线相切，能导出椭圆C的方程．
（Ⅱ）由F2（1，0），知l：y=k（x-1），由，得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，=（x1+x2-2m，y1+y2），由菱形对角线垂直，知（x1+x2-2m）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0，由此入手能够推导出存在满足题意的点P且m的取值范围是（0，）．
【解析】
（Ⅰ）∵△AF1F2是正三角形，∴a=2c，
由已知F2（c，0），A（0，b），
∴以AF2为直径的圆的圆心为，半径r=，
又该圆与直线相切，
∴，
由a=2c，得b=，
∴，
∴椭圆C的方程为
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F2（1，0），l：y=k（x-1），
由，得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，
∴=（x1+x2-2m，y1+y2），
由菱形对角线垂直，则，
∴（x1+x2-2m）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0，
即k（y1+y2）+x1+x2-2m=0，
∴k2（x1+x2-2）+x1+x2-2m=0，
，
由已知条件k≠0，k∈R，
∴，
∵，∴，
故存在满足题意的点P且m的取值范围是（0，）．