Question

某学校举行“科普与环保知识竞赛”，并从中抽取了部分学生的成绩（均为整数），所得数据的分布直方图如图．已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1：2：3，第4小组与第5小组的频率分别是0.175和0.075，第2小组的频数为10．
（Ⅰ）求所抽取学生的总人数，并估计这次竞赛的优秀率（分数大于80分）；
（Ⅱ）从成绩落在（50.5，60.5）和（90.5，100.5）的学生中任选两人，求他们的成绩在同一组的概率．

Answer

（Ⅰ）根据题意，设第一小组的频率为x，则x+2x+3x+0.175+0.075=1，解得x=0.125，进而结合题意中“可得第2小组的频数为10”可得抽取顾客的总人数，最后可得分数大于80分的学生所在的第四、第五小组的频率和即本次竞赛的优秀率；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，可得落在（50.5，60.5）和（90.5，100.5）的学生数，设落在（50.5，60.5）的学生设为Ai（i=1，2，3，4，5）；落在（90.5，100.5）的学生设为Bj（j=1，2，3），用列举法可得“从这8人中任取两人”的基本事件数和“成绩落在同一组”的基本事件数；由古典概型公式，计算可得答案．
【解析】
（Ⅰ）设第一小组的频率为x，则x+2x+3x+0.175+0.075=1，解得x=0.125，
第二小组的频数为10，得抽取顾客的总人数为=40人．
依题意，分数大于80分的学生所在的第四、第五小组的频率和为0.175+0.075=0.25，
所以估计本次竞赛的优秀率为25%．
（Ⅱ）落在（50.5，60.5）和（90.5，100.5）的学生数分别为0.125×40=5；0.075×40=3．
落在（50.5，60.5）的学生设为Ai（i=1，2，3，4，5）；落在（90.5，100.5）的学生设为Bj（j=1，2，3），
则从这8人中任取两人的基本事件为：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A5，B1），（A5，B2），（A5，B3），（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B1，B5），（B2，B3），（B2，B4），（B2，B5），（B3，B4），（B3，B5），（B4，B5），共28个基本事件；
其中“成绩落在同一组”包括（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B1，B5），（B2，B3），（B2，B4），（B2，B5），（B3，B4），（B3，B5），（B4，B5），共包含13个基本事件，
故所求概率为