Question

已知数列{a_n}是非常值数列的等差数列，S_n为其前n项和，S₅=25，且a₁，a₃，a₁₃成等比数列；
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，T_n为数列{b_n}的前n项和，若T_2n-T_n≥t对一切正整数n恒成立，求实数t的范围．

Answer

（1）利用等差数列的通项公式表示出相应的项，待定系数法设出首项和公差，根据S5=25，a1，a3，a13成等比数列列出关于首项和公差的方程组，通过求解该方程组求出首项和公差，进而写出该数列的通项公式；
（2）根据数列{an}的通项公式写出数列{bn}的通项公式，，利用作差法，判断数列{An}的单调性，从而求得
T2n-Tn≥t对一切正整数n恒成立时实数t的范围．
【解析】
（Ⅰ）设{an}的公差为d，，
∴a3=5．
a1，a3，a13成等比数列．则25=（5-2d）（5+10d），解得d=2，d=0（舍）．
an=a3+（n-3）d=5+（n-3）•2=2n-1．
数列{an}的通项公式an=2n-1，n∈N*．
（Ⅱ），
，
则
=，∴．
实数t的取值范围为：