Question

（理）已知函数．
（1）试判断f（x）的奇偶性并给予证明；
（2）求证：f（x）在区间（0，1）单调递减；
（3）如图给出的是与函数f（x）相关的一个程序框图，试构造一个公差不为零的等差数列
{a_n}，使得该程序能正常运行且输出的结果恰好为0．请说明你的理由．
（文）如图，在平面直角坐标系中，方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直，且AC和BD分别在x轴和y轴上．
（1）求证：F＜0；
（2）若四边形ABCD的面积为8，对角线AC的长为2，且，求D²+E²-4F的值；
（3）设四边形ABCD的一条边CD的中点为G，OH⊥AB且垂足为H．试用平面解析几何的研究方法判
断点O、G、H是否共线，并说明理由．

Answer

理科（1）先求出函数的定义域，得到定义域关于原点对称，在检验-x与x的函数值之间的关系，得到奇函数．
（2）根据单调性的定义，设出已知大小关系的任意两个变量，利用定义证明函数的单调性，得到函数是一个增函数．
（3）由程序框图知，公差不为零的等差数列{an}要满足条件，则必有f（a1）+f（a2）+…+f（a10）=0．所以要构造满足条件的等差数列{an}，可利用等差数列的性质，只需等差数列{an}满足：a1+a10=a2+a9═a5+a6=0．
文科（1）发现A、C两点分别在x轴正负半轴上．设两点坐标分别为A（a，0），C（c，0），则有ac＜0．对于圆方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，当y=0时，可得x2+Dx+F=0，其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标，于是有xAxC=ac=F，得到故F＜0．
（2）写出对角线互相垂直的四边形ABCD面积，根据两个向量的数量积等于0，整理出角是一个直角，根据圆的方程写出结果．
（3）设出和写出要用的点的坐标，当y=0时可得x2+Dx+F=0，其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标，于是有xAxC=ac=F．同理，当x=0时，可得y2+Ey+F=0，其中方程的两根分别为点B和点D的纵坐标，于是有yByD=bd=F．得到结果．
【解析】
（1）由
得，
则，任取，
都有f（-x）==-f（x），则该函数为奇函数．
（2）任取0＜x1＜x2＜1，
则有0＜x12＜x22＜1⇒2-x12＞2-x22＞1，⇒ln（2-x12）＞ln（2-x22）＞0．
又，
所以，
即f（x1）＞f（x2），
故函数f（x）在区间（0，1）上单调递减．
（3）由程序框图知，公差不为零的等差数列{an}要满足条件，
则必有f（a1）+f（a2）+…+f（a10）=0．
由（1）知函数f（x）是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称，
所以要构造满足条件的等差数列{an}，可利用等差数列的性质，只需等差数列{an}
满足：a1+a10=a2+a9═a5+a6=0
且即可．
我们可以先确定a5，a6使得a5+a6=0，因为公差不为零的等差数列{an}必是单调的数列，只要它的最大项和最小项在中，即可满足要求．
所以只要a5，a6
对应的点尽可能的接近原点．如取a5=-0.1，a6=0.1，存在满足条件的一个等差数列{an}可以是an=0.2n-1.1（1≤n≤10，n∈N*）．
（文科）（1）由题意，不难发现A、C两点分别在x轴正负半轴上．设两点坐标分别为A（a，0），C（c，0），
则有ac＜0．
对于圆方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，
当y=0时，可得x2+Dx+F=0，其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标，于是有xAxC=ac=F．
因为ac＜0，故F＜0．
（2）对角线互相垂直的四边形ABCD面积，
因为S=8，|AC|=2，可得|BD|=8．
又因为，
所以∠A为直角，而因为四边形是圆M的内接四边形，
故|BD|=2r=8⇒r=4．
对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的圆，
可知，
所以D2+E2-4F=4r2=64．
（3）证：设四边形四个顶点的坐标分别为A（a，0），B（0，b），C（c，0），D（0，d）．
则可得点G的坐标为，即．
又，且AB⊥OH，故要使G、O、H三点共线，只需证即可．
而，且对于圆M的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，
当y=0时可得x2+Dx+F=0，其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标，
于是有xAxC=ac=F．
同理，当x=0时，可得y2+Ey+F=0，其中方程的两根分别为点B和点D的纵坐标，
于是有yByD=bd=F．
所以，，即AB⊥OG．
故O、G、H必定三点共线．