Question

若函数f（x）满足条件：当x₁，x₂∈[-1，1]时，有|f（x₁）-f（x₂）|≤3|x₁-x₂|成立，则称f（x）∈Ω．对于函数g（x）=x³，h（x）=，有（ ）
A．g（x）∈Ω且h（x）∉Ω
B．g（x）∉Ω且h（x）∈Ω
C．g（x）∈Ω且h（x）∈Ω
D．g（x）∉Ω且h（x）∉Ω

Answer

先对f（x）讨论，利用立方差公式将|f（x1）-f（x2）|分解因式为|x1-x2|•|x12+x1x2+x22|，再根据自变量在闭区间[-1，1]上取值，可得|x12+x1x2+x22|≤x12+|x1x2|+x22≤3，因而|f（x1）-f（x2）|≤3|x1-x2|成立，得f（x）∈Ω；
再对g（x）讨论，将差通分可得|g（x1）-g（x2）|=||，根据自变量在闭区间[-1，1]上取值再结合倒数的方法证出且，可得故||≤|x1-x2|，因而|g（x1）-g（x2）|≤3|x1-x2|成立，可得g（x）∈Ω
【解析】
根据题意得：
（1）|f（x1）-f（x2）|=|x13-x23|=|x1-x2|•|x12+x1x2+x22|
因为x1，x2∈[-1，1]，所以|x12+x1x2+x22|≤x12+|x1x2|+x22≤3
所以有|f（x1）-f（x2）|≤3|x1-x2|成立，可得f（x）∈Ω
（2）|g（x1）-g（x2）|=||=||
因为x1，x2∈[-1，1]，所以，
故||≤|x1-x2|≤3|x1-x2|
所以有|g（x1）-g（x2）|≤3|x1-x2|成立，可得g（x）∈Ω
综合（1）（2）可得，g（x）∈Ω且h（x）∈Ω
故选C