Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，BC=AD，PA=PD，Q为AD的中点．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面PBQ；
（Ⅱ）若点M在棱PC上，设PM=tMC，试确定t的值，使得PA∥平面BMQ．

Answer

（Ⅰ） 证明四边形BCDQ为平行四边形，可得CD∥BQ，证得QB⊥AD，由等腰三角形的性质可得PQ⊥AD，从而
证得AD⊥平面PBQ．
 （Ⅱ） 当 t=1时，PA∥平面BMQ，可证四边形BCQA为平行四边形，故N为AC中点，由三角形的中位线的性质
可得MN∥PA，故有PA∥平面BMQ．
证明：（Ⅰ）AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°，
∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．∵PA=PD，Q为AD的中点，
∴PQ⊥AD．∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．
（Ⅱ）当 t=1时，PA∥平面BMQ． 连接AC，交BQ于N，连接MN．
∵BC∥DQ，且BC=DQ，∴四边形BCQA为平行四边形，
且N为AC中点，∵点M是线段PC的中点，∴MN∥PA．
∵MN⊂平面BMQ，PA不在平面BMQ内，∴PA∥平面BMQ．