Question

已知椭圆E的焦点在x轴上，离心率为，对称轴为坐标轴，且经过点（1，）．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）直线y=kx-2与椭圆E相交于A，B两点，在OA上存在一点M，OB上存在一点N，使得，若原点O在以MN为直径的圆上，求直线斜率k的值．

Answer

（Ⅰ）依题意设出椭圆E的方程，根据离心率的值以及椭圆经过点（1，），待定系数法求出椭圆的方程．
 （Ⅱ）把直线的方程代入椭圆的方程，使用根与系数的关系，再利用OM⊥ON 及，
通过=0，解方程求出k的值．
【解析】
（Ⅰ）依题意，可设椭圆E的方程为 ，
∵=，∴a=2c，又 b2=a2-c2=3c2，∵椭圆经过点（1，），
∴椭圆的方程为  ．
（Ⅱ）记A、B 两点坐标分别为A（x1，x2 ），B （x2，y2），
 消去y，得 （4k2+3）x2-16kx+4=0，∵直线与椭圆有两个交点，
∴△=（16k）2-16（4k2+3）＞0，∴k2＞，
由韦达定理 ，，∵原点O在以MN为直径的圆上，
∴OM⊥ON，即 =0，∵，M在OA上，N在OB上，
∴=0，又 =（x1，y1 ），=（x2，y2 ），
∴=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1-2）（kx2-2）
=（k2+1）x1x2-2k（x1+x2）+4=（k2+1）-2k+4=0．
∴k2=＞，∴k=±．