Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+4在（-∞，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）当x≥0时，曲线y=f（x）总在直线y=a²x-4上方，求a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由题意得：f（x）在（-∞，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数，所以当x=0时，f（x）有极大值，即f′（x）=0，即b=0．
（Ⅱ）因为f（x）在（-∞，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数，所以，即a．因为曲线y=f（x）在直线y=a2x-4的上方，设g（x）=（x3+ax2+4）-（a2x-4），
所以在x∈[0，+∝）时，g（x）≥0恒成立．用导数求函数g（x）的最小值为g（-a），保证其大于0即可．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）=x3+ax2+bx+4，
∴f′（x）=3x2+2ax+b．
∵f（x）在（-∞，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数，
∴当x=0时，f（x）有极大值，即f′（x）=0，
∴b=0．
（Ⅱ）f′（x）=3x2+2ax=x（3x+2a），
∵f（x）在（-∞，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数，
∴，即a．
∵曲线y=f（x）在直线y=a2x-4的上方，
设g（x）=（x3+ax2+4）-（a2x-4），
∴在x∈[0，+∝）时，g（x）≥0恒成立．
∵g′（x）=3x2+2ax-a2=（3x-a）（x+a），
令g′（x）=0，两个根为-a，，且，

x （0，-a） -a （-a，+∞）
g′（x） - +
g（x） 单调递减 极小值 单调递增

∴当x=-a时，g（x）有最小值g（-a）．
令g（-a）=（-a3+a3+4）-（-a3-4）＞0，
∴a3＞-8，由，
∴-2＜a．