Question

已知Sn={A|A=（a₁，a₂，a₃，…a_n）}a_i=0或1，i={1，2，••，n}（n≥2），对于U，V∈S_n，d（U，V）表示U和V中相对应的元素不同的个数．
（Ⅰ）如果U=（0，0，0，0），存在m个V∈S₄，使得d（U，V）=2，写出m的值；
（Ⅱ）如果，U，V∈S_n，求证：d（U，W）+d（V，W）≥d（U，V）．

Answer

（Ⅰ）根据V∈S4，d（U，V）=2及d（U，V）的意义：表示U和V中相对应的元素不同的个数，可知m=C42；
（Ⅱ）根据ai=0或1，i=1，2，••，n，分类讨论ai=0，bi=0时，|ai|+|bi|=0=|ai-bi|；当ai=0，bi=1时，|ai|+|bi|=1=|ai-bi|；当ai=1，bi=0时，|ai|+|bi|=1=|ai-bi|； 当ai=1，bi=1时，|ai|+|bi|=2≥|ai-bi|=0，可证，|ai|+|bi|≥|ai-bi|，再相加即可证明结论；
【解析】
（Ⅰ）∵V∈S4，d（U，V）=2，
∴C42=10，即m=6；
（Ⅱ）证明：令U=（a1，a2，a3，…an），V=（b1，b2，b3，…bn）
∵ai=0或1，bi=0或1；
当ai=0，bi=0时，|ai|+|bi|=0=|ai-bi|
当ai=0，bi=1时，|ai|+|bi|=1=|ai-bi|
当ai=1，bi=0时，|ai|+|bi|=1=|ai-bi|
当ai=1，bi=1时，|ai|+|bi|=2≥|ai-bi|=0
故，|ai|+|bi|≥|ai-bi|
∴d（U，W）+d（V，W）=（a1+a2+a3+…+an）+（b1+b2+b3+…+bn）
=（|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|）+（|b1|+|b2|+|b3|+…+|bn|）
≥|a1-b1|+|a2-b2|+|a3-b3|+…+|an-bn|．