Question

如图所示，直角坐标系xOy建立在湖泊的某一恰当位置，现准备在湖泊的一侧修建一条观光大道，它的前一段MD是以O为圆心，OD为半径的圆弧，后一段DBC是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0， ），x∈[4，8]时的图象，图象的最高点为
（Ⅰ）求函数y=sin（ωx+φ）的解析式；
（Ⅱ）若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园OEPF，其中折线FPE为水上赛艇线路，问点P落在圆弧MD上何处时赛艇线路最长？

Answer

（I）函数y=f（x）的相邻两条对称轴间距离，求出函数周期，得到ω，函数的图象的一个对称中心，求出φ，然后求出函数y=f（x）的解析式；
（II）在 中令x=4，得OD，再连接OP，设赛艇线路长为L．利用三角函数表示出来L，再利用三角函数的性质求得L 有最大值即可解决问题．
【解析】
（I）对于函数y=Asin（ωx+φ），
由图象知，， …（3分）
将 代入到 中，得，又，
所以，故 …（7分）
（II）在 中令x=4，得 
∴ …（9分）
连接OP，设∠EOP=θ，，则 
设赛艇线路长为L．
则= …（12分）
当 时L 有最大值，此时．…（14分）
所以当P 点的坐标为 时赛艇线路最长．′…（15分）