Question

已知数列b_n前n项和．数列a_n满足（n∈N^*），数列c_n满足c_n=a_nb_n．
（1）求数列a_n和数列b_n的通项公式；
（2）求数列c_n的前n项和T_n；
（3）若对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）利用bn=Sn-Sn-1求出数列bn的通项公式，然后利用求出数列an通项公式；
（2）利用cn=anbn．求出数列cn的通项公式，写出前n项和Tn的表达式，利用错位相减法，求出前n项和Tn．
（3）求出数列cn的最大值，利用，求出m的取值范围．
【解析】
（1）由已知和得，当n≥2时，（2分）
又b1=1=3×1-2，符合上式．故数列bn的通项公式bn=3n-2．（3分）
又∵，∴，
故数列an的通项公式为，（5分）
（2），，①，②
①-②得 ==，
∴． （10分）
（3）∵，
∴=，
当n=1时，cn+1=cn；当n≥2时，cn+1≤cn，∴．
若对一切正整数n恒成立，则即可，
∴m2+4m-5≥0，即m≤-5或m≥1． （14分）．