Question

设△ABC三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（a，2b），=（sinA，1），且∥．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若△ABC是锐角三角形，=（cosA，cosB），=（1，sinA-cosAtanB），求•的取值范围．

Answer

（Ⅰ）通过∥．得到a-2bsinA=0，由正弦定理求出sinB的值，然后求角B的大小；
（Ⅱ）先求•的表达式sin（A+），利用三角形的内角和是180°，B的值，推出A的范围，A+的范围，然后确定•取值范围．
【解析】
（Ⅰ）∵=（a，2b），=（sinA，1），且∥，
∴a-2bsinA=0，由正弦定理得sinA-2sinBsinA=0．（3分）
∵0＜A，B，C＜π，∴sinB=，得B=或B=．（6分）
（Ⅱ）∵△ABC是锐角三角形，
∴B=，=（cosA，），=（1，sinA-cosA），
于是•=cosA+（sinA-cosA）=cosA+sinA=sin（A+）．（9分）
由A+C=π-B=及0＜C＜，得A=-C∈（，）．
结合0＜A＜，∴＜A＜，得＜A+＜，
∴＜sin（A+）＜1，即＜•＜1．（12分）