Question

图为一简单集合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2．
（1）画出该几何体的三视图；
（2）求四棱锥B-CEPD的体积；
（3）求证：BE∥平面PDA．

Answer

（1）由已知中底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2．根据三视图的定义，易得到该几何体的三视图；
（2）由已知中PD⊥平面ABCD，且PD=AD=2EC=2，我们计算出棱锥的底面面积和高，代入棱体积公式，即可求出四棱锥B-CEPD的体积；
（3）由已知中EC∥PD，我们可证得EC∥平面PDA，同理可证BC∥平面PDA，即平面BCE∥平面PDA，再结合面面平行的性质即可得到BE∥平面PDA．
【解析】
（1）该组合体的主视图和侧视图如图示：（3分）
（2）∵PD平面ABCD，PD⊂平面PDCE
∴平面PDCE⊥平面ABCD
∵BC⊥CD
∴BC⊥平面PDCE（5分）
∵SPCDE=（PD+EC）•DC=3（6分）
∴四棱锥B-CEPD的体积
V=•SPCDE•BC=2．（8分）
证明：（3）∵EC∥PD，PD⊂平面PDA，
EC⊄平面PDA
∴EC∥平面PDA，（10分）
同理可得BC∥平面PDA（11分）
∵EC⊂平面EBC，BC⊂平面EBC且EC∩C=C
∴平面BEC∥平面PDA（13分）
又∵BE⊂平面EBC
∴BE∥平面PDA（14分）