Question

已知函数f（x）=ln（x+1）+ax．
（1）当x=0时，函数f（x）取得极大值，求实数a的值；
（2）若存在x∈[1，2]，使不等式f′（x）≥2x成立，其中f′（x）为f（x）的导函数，求实数a的取值范围；
（3）求函数f（x）的单调区间．

Answer

（1）求出f′（x），因为x=0时函数取得极大值，所以f′（0）=0，化简即可求出a的值，把a的值代入f（x）中检验，方法是在函数的定义域范围内，讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性即可得到x=0处取得极大值；（2）把f′（x）的解析式代入f′（x）≥2x中，解得a大于等于2x-，设g（x）=2x-，求出g（x）的最大值，即可求出a的范围，方法是求出g′（x），得到g′（x）大于0即函数在[1，2]为增函数，所以g（x）的最大值为g（2），列出关于a的不等式，求出解集即可得到a的取值范围；（3）求出f′（x）=0时x的值，分a大于等于0和a小于0两种情况在函数的定义域内，讨论导函数的正负即可得到函数的单调区间．
【解析】
（1）f′（x）=+a
由f′（0）=0，得a=-1，此时f′（x）=-1．
当x∈（-1，0）时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（-1，0）上单调递增；
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减；
∴函数f（x）在x=0处取得极大值，故a=-1．
（2）∵f′（x）≥2x，∴+a≥2x，∴a≥2x-．
令g（x）=2x-（1≤x≤2），
∴g′（x）=2+＞0，∴g（x）在[1，2]上是增函数，
∴a≥g（1）=．存在x∈[1，2]，使不等式f′（x）≥2x成立．
（3）f′（x）=+a．
∵＞0，
∴当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（-1，+∞）上是增函数．
当a＜0时，令f′（x）=0，x=--1；
若x∈（-1，--1）时，f′（x）＞0，
若x∈（--1，+∞）时，f′（x）＜0；
综上，当a≥0时，函数f（x）递增区间是（-1，+∞）；
当a＜0时，函数f（x）递增区间是：（-1，--1），递减区间是：（--1，+∞）．