Question

在直角梯形PBCD中，∠D=∠C=，BC=CD=2，PD=4，A为PD的中点，如图1．将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且，如图2．
（1）求证：SA⊥平面ABCD；
（2）求二面角E-AC-D的正切值；
（3）在线段BC上是否存在点F，使SF∥平面EAC？若存在，确定F的位置，若不存在，请说明理由．

Answer

（法一）
（1）由题意可知，题图2中SA⊥AB①，易证BC⊥SA②，由①②根据直线与平面垂直的判定定理可得SA⊥平面ABCD；
（2）（三垂线法）由考虑在AD上取一点O，使得 ，从而可得EO∥SA，所以EO⊥平面ABCD，过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，∠EHO为二面角E-AC-D的平面角，在Rt△AHO中求解即可
（3）取BC中点F，所以，又由题意
从而可得SF∥EM，所以有SF∥平面EAC
（法二：空间向量法）
（1）同法一
（2）以A为原点建立直角坐标系，易知平面ACD的法向为，求平面EAC的法向量，代入公式求解即可
（3）由SF∥平面EAC，所以，利用向量数量的坐标表示，可求
解法一：（1）证明：在题图1中，由题意可知，BA⊥PD，ABCD为正方形，
所以在题图2中，SA⊥AB，SA=2，
四边形ABCD是边长为2的正方形，
因为SB⊥BC，AB⊥BC，
所以BC⊥平面SAB，（2分）
又SA⊂平面SAB，
所以BC⊥SA，
又SA⊥AB，
所以SA⊥平面ABCD，（4分）

（2）在AD上取一点O，使，连接EO．
因为，所以EO∥SA
所以EO⊥平面ABCD，
过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，
则AC⊥平面EOH，
所以AC⊥EH．
所以∠EHO为二面角E-AC-D的平面角，．
在Rt△AHO中，．，
即二面角E-AC-D的正切值为．（9分）

（3）当F为BC中点时，SF∥平面EAC，
理由如下：取BC的中点F，连接DF交AC于M，
连接EM，AD∥FC，
所以，又由题意
SF∥EM，
所以SF∥平面EAC，即当F为BC的中点时，
SF∥平面EAC（12分）
解法二：（1）同方法一（4分）

（2）如图，以A为原点建立直角坐标系，
A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，2），E（0，）
易知平面ACD的法向为
设平面EAC的法向量为n=（x，y，z）
由，
所以，可取
所以n=（2，-2，1）．（7分）
所以
所以
即二面角E-AC-D的正切值为．（9分）
（3）设存在F∈BC，
所以SF∥平面EAC，
设F（2，a，0）
所以，由SF∥平面EAC，
所以，所以4-2a-2=0，
即a=1，即F（2，1，0）为BC的中点（12分）