Question

在数列{a_n}中，a₁=-3，a_n=2a_n-1+2ⁿ+3（n≥2，且n∈N*）．
（1）设，证明：数列{b_n}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和为S_n．

Answer

（1）利用等差数列的定义证明bn+1-bn=常数．
（2）由（1）得bn是等差数列所以得到an=（n-1）•2n-3，再利用错位相减求数列{（n-1）•2n}的前n 项的和Tn=4+（n-2）•2n+1，进而求出数列{an}的前n项和为
Sn=4+（n-2）•2n+1-3n
【解】（1）由题意的
∵
=，
∴数列{bn}是首项为，公差为1的等差数列．
（2）由（1）得，，
∴an=（n-1）•2n-3（n∈N*）．
∴Sn=-3+（1×22-3）+（2×23-3）+…+[（n-1）•2n-3]，
即Sn=1×22+2×23+3×24+…+（n-1）•2n-3n．
设Tn=1×22+2×23+3×24+…+（n-1）•2n，
则2Tn=1×23+2×24+3×25+…+（n-1）•2n+1，
两式相减得，-Tn=22+23+24+…+2n-（n-1）•2n+1=，
整理得，Tn=4+（n-2）•2n+1，
从而Sn=4+（n-2）•2n+1-3n（n∈N*）．