Question

（文科做）函数f（x）=ax³-6ax²+3bx+b，其图象在x=2处的切线方程为3x+y-11=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数y=f（x）的图象与的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围．

Answer

（1）求得函数的导数，利用函数在某一点处导数的几何意义：f'（2）=-3以及f（2）=5，列方程组求解参数．
（2）由（1）中得到的函数解析式y=f（x）的图象与的图象有三个不同的交点，转化为方程
f（x）=有三个不相等的实根，进一步转化为函数g（x）=f（x）-的图象与x轴有三个不同的交点，于是利用函数导数可得新函数g（x）的极值，通过判断极值的符号可得结论．
【解析】
（1）由题意得f'（x）=3ax2-12ax+3b，f'（2）=-3且f（2）=5，
∴即解得a=1，b=3，
∴f（x）=x3-6x2+9x+3． （6分）
（2）由f（x）=x3-6x2+9x+3，可得f'（x）=3x2-12x+9，=x2+x+3+m，
则由题意可得x3-6x2+9x+3=x2+x+3+m有三个不相等的实根，
即g（x）=x3-7x2+8x-m的图象与x轴有三个不同的交点，g'（x）=3x2-14x+8=（3x-2）（x-4），则g（x），g'（x）的变化情况如下表．

x 4 （4，+∞）
g'（x） + - +
g（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

则函数f（x）的极大值为，极小值为g（4）=-16-m．y=f（x）的图象与的图象有三个不同交点，则有：解得．（12分）