Question

已知点M（-5，0）、C（1，0），B分所成的比为2．P是平面上一动点，且满足．
（1）求点P的轨迹C对应的方程；
（2）已知点A（m，2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD、AE，且AD、AE的斜率k₁、k₂满足k₁k₂=2．试推断：动直线DE有何变化规律，证明你的结论．

Answer

（1）欲求点P的轨迹C对应的方程，设P（x，y），只须求出其坐标x，y的关系式即可，利用向量条件，将点的坐标代入，即得；
（2）设直线DE的方程为y=kx+b，D（x1，y1）、E（x2，y2），将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系结合题中条件：“k1•k2=2”即可求得结果，从而解决问题．
【解析】
（1）因为点M（-5，0）、C（1，0），B分所成的比为2，
所以．
设P（x，y）代入，得．
化简得y2=4x．
（2）将A（m，2）代入y2=4x，得m=1，即A（1，2）．
∵k1k2=2，∴D、E两点不可能关于x轴对称，∴DE的斜率必存在．
设直线DE的方程为y=kx+b，D（x1，y1）、E（x2，y2）
由得k2x2+2（kb-2）x+b2=0．
∵k1•k2=2，∴．
且y1=kx1+b、y2=kx2+b．
∴（k2-2）x1x2+（kb-2k+2）（x1+x2）+（b-2）2-2=0．
将代入化简得b2=（k-2）2，∴b=±（k-2）．
（i）将b=k-2代入y=kx+b得y=kx+k-2=k（x+1）-2，过定点（-1，-2）．
（ii）将b=2-k入y=kx+b得y=kx+2-k=k（x-1）+2．
过定点（1，2）．即为A点，不合题意，舍去．
∴直线DE恒过定点（-1，-2）．