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已知△ABC中,(tanA+1)(tanB+1)=2,AB=2,求: (1)角C...

已知△ABC中,(tanA+1)(tanB+1)=2,AB=2,求:
(1)角C的度数;
(2)求三角形ABC面积的最大值.
(1)把已知的等式(tanA+1)(tanB+1)=2变形,利用两角和的正切函数公式即可求出tan(A+B)的值,利用三角形的内角和定理及诱导公式即可求出tanC的值,根据C的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数; (2)由AB即c的值和cosC的值,利用余弦定理即可表示出关于a与b的关系式,利用基本不等式求出ab的最大值,然后利用三角形的面积公式,由求出的ab的最大值和sinC的值即可求出三角形ABC面积的最大值. 【解析】 记角A、角B、角C的对边分别为a、b、c (1)tanA+tanB+tanAtanB+1=2,即tanA+tanB=1-tanAtanB, ∵1-tanAtanB≠0, ∴tan(A+B)==1, 即tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-1, ∵C∈(0,π),∴C=; (2)由余弦定理a2+b2-2abcosC=c2得: a2+b2+2×ab=4,即a2+b2+ab=4, 而4-ab=a2+b2≥2ab,即ab≤4-2, 所以S△ABC=absinC=ab≤(4-2)=-1.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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